数学建模|预测方法：马尔科夫预测

发表于 更新于 Valine： 本文字数： 1.1k 估计阅读时长 ≈ 1 分钟

马尔可夫链的定义

现实世界中有很多这样的现象：某一个系统在已知现在的条件下，系统未来时刻的情况只与现在有关，而与过去的历史无关，比如，研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻累计销售额无关。描述这类随机现象的数学模型称为马尔可夫模型。 ### 数学表达 设是一个随机序列，状态空间为有限或可列集，对于任意的正整数，若有

则称为一个马尔可夫链。

  • 事实上，证明该等式对于成立，则它对于任意的正整数也成立，则只要当时等式成立，则可以称为马尔可夫链。

  • 设是一个马尔可夫链，则上述等式右边的条件概率与无关，即 则称为时齐的马尔可夫链，称为系统由状态经过个时间间隔转移到状态的转移概率。

转移概率与转移概率矩阵

对于一个马尔可夫链，称以步转移概率为元素的矩阵为马尔可夫链的步转移矩阵。当时，记称为马尔可夫链的一步转移矩阵

它有如下三条性质：

  • 对一切
  • 对于一切
  • 对一切 当时当时

当实际问题可以用马尔可夫链来描述时，首先要确定它的状态空间及参数集合，然后确定它的一步转移概率，关于这一概率的确定，可以由问题的内在规律得到，也可以由过去经验给出，还可以根据观测数据来估计。

案例